哥德巴赫猜想是什么题 王元院士漫谈哥德巴赫猜想

2019-07-04 - 哥德巴赫

“我劝大家现在不要去做哥德巴赫猜想,还是把基础打好。如果要搞这个问题,最低限度,你应该有大学数学专业毕业生的知识水平,并将已有的文献都看明白了;否则,就是浪费时间。”

1978年2月17日,《人民日报》发表了徐迟的长篇报告文学——《哥德巴赫猜想》。从此,陈景润的名字和哥德巴赫猜想一起传遍神州大地。

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近日,在一项面向公众的活动中,数论学家王元院士发表了题为《漫谈哥德巴赫猜想》的演讲,并向热衷于证明这一猜想的数学爱好者提出建议和忠告。

王元表示,关于哥德巴赫猜想,报纸、电台和电视上都介绍了很多。“但报纸上的宣传也好,群众的理解也好,都是不完整的,也是不科学的。”王元说。

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他谈到三个方面的问题:一、什么是哥德巴赫猜想;二、为什么哥德巴赫的证明如此重要;三、目前最终证明哥德巴赫猜想的方法还没有出来,劝大家还是把基础打好,不要轻易去证明哥德巴赫猜想。

王元是我国早期从事哥德巴赫猜想证明的数学家之一,1952年从浙江大学数学系毕业,经陈建功与苏步青推荐到中国科学院数学研究所工作,在华罗庚的指导下研究数论和哥德巴赫猜想。

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据王元介绍,华罗庚早在20世纪30年代就开始研究哥德巴赫猜想,并得到了相当好的结果;1966年,陈景润证明了“1 2”是迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果。

什么是哥德巴赫猜想

1742年6月7日,德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫写信给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,提出两个猜想:

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(1)任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和;

(2)任何一个大于5的奇数是3个素数之和。

1742年6月30日,欧拉在给哥德巴赫的回信中明确表示,他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理,但他不能加以证明。

“容易证明(2)是(1)的推论,所以最重要的是(1),这是两个素数,所以我们称它为‘1 1’,这个问题到现在也没有解决。”王元说,“但是,现在很多人说解决了这个问题,来的信简直堆积如山,有人搞得倾家荡产,这是没有必要的,因为这个问题还不到解决的时候。我劝大家不要做这个问题。”

哥德巴赫猜想的内容十分简洁,但它的证明却异乎寻常的困难。从哥德巴赫写信之日起,直至1920年,并没有一个方法可以用来证明这个问题。

1900年,在法国巴黎召开的第2届国际数学大会上,德国数学家大卫·希尔伯特在他著名的演说中,为20世纪的数学家建议了23个问题,而哥德巴赫猜想(1)就是他第八个问题的一部分。

1912年,在英国剑桥召开的第5届国际数学大会上,德国数学家E·朗道将哥德巴赫猜想列为数论中按当时数学水平不能解决的4个问题之一。

1921年,数论泰斗、英国数论学家哈罗德·哈代在德国哥德哈根数学会的演讲中,宣称猜想(1)的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。

因此,王元说:“哥德巴赫猜想不仅是数论,也是整个数学中最著名与困难的问题之一。”他给大家展示了一幅当年哥德巴赫写给欧拉的信的手迹复本。

哥德巴赫猜想为何如此重要

在数学界,关于整数未解决的问题非常多,为什么哥德巴赫猜想特别重要呢?

王元说:“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一个数学模型,以它作为模型,可以给数学带来新的方法、新的概念和新的理论。如果一个问题的证明不能带来新方法、新思想和新理论,那么这个问题就不重要,这样的问题多得很。”

在接下来的演讲中,王元向公众解释了哥德巴赫猜想证明为何能带动新的理论和方法的原因。

证明哥德巴赫想带动的第一个方法是“园法”。这是1918年,英国数学家哈代、李特伍德和印度数学家拉马努金研究哥德巴赫猜想时提出的方法。

王元说:“他们从1918年开始做这个方法,这是一个非常有力的方法,是堆垒数论中一个强有力的中心方法。哈代是华罗庚先生的老师,拉马努金在印度则被神话了。还有就是指数和的估计方法,指数和的估计从高斯开始,在最近100年中发展得很快,原因就是哥德巴赫猜想是它的推动力之一。

有了这两个方法的带动,基本上解决了哥德巴赫猜想(2),即每一个充分大的奇数都是三个素数之和。为什么说是基本解决而不是完全解决呢,这就要完全理解‘充分大’。”

什么是“充分大”?王元说:“充分大是一个界线,大于这个界线的数则为充分大。在数学中,这个界线有时可以算出来,有时算不出来。在这里,文献资料显示,这个充分大可以算出来,是10的1000多次方,这是一个什么概念呢?现在计算机每秒的计算速度可以达到每秒100万亿次,这是10的14次方,10的20次方则是计算机能够达到的最高上限;再给大家一个概念,整个宇宙的基本粒子有多少?我记得在一篇文章上说是10的50次方,那么,10的1000次方是什么概念呢?无法想象!

这是一个大得不得了的数字。所以,三个素数加起来等于一个奇数,这是不能通过计算机做出来的,只能用数学的方法来证明。”

“现在,社会上只知道1 1,N N,忘了将‘充分大’三个字放上去,这些问题都要加上‘充分大’才行。”王元补充说。

证明哥德巴赫猜想带动的第二个方法是筛法。

王元说:“1918年,挪威数学家布朗改进了有2000多年历史的埃拉多染尼氏的筛法,证明每个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的正整数之和。我们将布朗的结果记为‘9 9’。从布朗开始,筛法发展差不多90多年了,而且还在发展,最后结果是什么呢?最后结果之一就是陈景润的结果。陈景润在1965年证明:每一个充分大的偶数可以表示为一个素数及一个不超过两个素数之积之和。这个定理可以表示为‘1 2’。”

“陈景润的这个定理,报纸上的宣传也好,群众的了解也好,都是不完整、不科学的。因为首先,外面大家讲的都是陈景润的‘1 2’,‘充分大’忘了;其次,大家说陈景润证明的是一个素数加上两个素数乘起来。这又错了!

应该是一个素数加上一个素数或者两个素数乘起来,是不超过两个素数之积之和。所以,大众的理解是不科学的,所以我现在要给大家严格地讲一讲。”王元说,“陈景润定理中的充分大有多大?我们只知道存在这样一个界,但不能具体给出来!”

“光辉的顶点”

华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936~1938年,他赴英国剑桥大学留学,在哈代的指导下从事数论研究,并开始研究哥德巴赫猜想,取得了很好的成果,证明了对于“几乎所有”的偶数,猜想(1)都是正确的。

1950年,华罗庚从美国回国,在中科院数学研究所组织数论研究讨论班,选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题,倡议并指导他的一些学生研究这一问题。他曾对学生们说:“我并不是要你们在这个问题上作出成果来。我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系,以哥德巴赫猜想为主题来学习,将可以学会解析数论中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美极了,现在还没有一个方法可以解决它。”

参加这个数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等。出乎华罗庚的意料,学生们在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。

1956年,王元证明了“3 4”;同年,原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了“3 3”;1957年,王元又证明了“2 3”;潘承洞于1962年证明了“1 5”;1963年,潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1 4”;1966年,陈景润在对筛法作了新的重要改进后,证明了“1 2”。

1974年,由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的《筛法》一书出版,书中以“陈氏定理”作为最后一章的标题。书中写道:“我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理,我们在前10章已经付印时才注意到这一结果。从筛法的任何方面来说,它都是光辉的顶点。”

华罗庚曾对王元说:“在我的学生的工作中,最使我感动的是‘1 2’。”

王元向大家展示了一张陈景润的照片,这是日本出版的《数学100个问题》中一张陈景润的照片。“日本数学界列举了今天数学中的100个重要问题,哥德巴赫猜想是这些问题中的重要问题之一,因为陈景润在‘1 1’的证明中最接近最终目标,所以书中刊登了他的一张照片。

这里面刊登一张照片也不容易,因为书中只有两张中国人的照片,一张是祖冲之的,一张就是陈景润的。”王元说,“当然,对数学难题的证明作出贡献只是对数学贡献的一个方面。”

王元强调:“在这里我应该说明,这个结果最后是陈景润做出来的,但这个结果应该是90年来大家努力的结果,陈景润只是走出了最后一步。所以,前面的某些人在数学史上的功劳肯定要超过他,比方说,近代筛法的创始人布朗等。但最后的结果是最后一个人做出来的。如果要证明‘1 1’,现在还比较远。”

“这一步大得不得了”

最后,王元说:“今天,我给大家讲哥德巴赫猜想,并不是想鼓吹大家来做这个事情。我没有这个意思。我给大家讲一讲,只是要让你们知道这样一个数学常识,这是我的第一个目的。第二个目的,也是更重要的一点,就是我劝大家现在不要去做哥德巴赫猜想,还是把基础打好。

对这个问题而言,包括陈景润在内,他辛苦了一辈子证明了‘1 2’,是他的实力和勤奋,也是他的运气。陈景润的结果,报纸上的宣传也好,外面的说法也好,都不对头,‘充分大’没有说,这是不对的。

这个问题,基础没有打好,怎么搞?对在座的各位年轻人来说,你们现在打基础很重要,如果要搞这个问题,最低限度,你应该有大学数学专业的毕业生的知识水平,并将已有的文献都看明白了才能做;否则,就是浪费时间。”

如今,王元每周还要收到几封信,写信人强迫和他讨论哥德巴赫猜想的问题。“我希望他们不要和我讨论这个问题,这个问题我已经几十年不做了,因为我觉得没有什么希望再做下去了。不要认为陈景润做出‘1 2’,还差一步就做出‘1 1’。是的,就是这一步;但这一步根本就大得不得了,这一步比90年来走过的路还要长。”王元说。

美国加州大学洛杉矶分校的华裔数学家陶哲轩是2006年数学菲尔茨奖获得者之一。王元说:“陶哲轩应该是最近几十年来全世界做得最好的两位数学家之一,他的目标之一就是要证明‘1 1’,他现在做出来的结果也很好,但他在很多次报告中都讲,他的方法不可能证明‘1 1’。”

“连这么大的一个天才都没有做出来,所以,我劝大家不要做这个事,现在不是做这个证明的时候。你们还是应打好基础,把你们现在该学的解析几何、代数与几何等学好,这是最重要的。”王元说。

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