三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题

2019-05-07 - 三次函数

三次函数导数中较为常见的函数,由于三次函数的导函数是二次函数,在三次函数中存在参数的前提下,还可以在考试中在分类讨论和二次函数根的分布上设置问题,另外三次函数是一种趋势较为恒定的函数,因此研究其单调性和零点问题相较于其他函数来说简单很多,今天把三次函数中与导数结合的切线问题做一个整理。

三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题
三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题

曾经有一类问题考察的较多,就是过三次函数所在的平面的一点作三次函数的切线,问共有几条,这种题目不能直接通过图像看得出来,另外题目中涉及了切点问题,我们一般通过设切点坐标来解,至于切线的个数能转化为什么,我们先猜一下,既然是切线的条数,最直接的就是函数零点的个数或者方程根的个数,具体如何转化,我们接着看。

三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题
三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题

以三次函数y=x³-3x为例,过点M(m,n)作三次函数的切线,能做几条?

上述过程可知,过某点作三次函数的切线有几条的问题能够转化为一个三次函数有几个零点的问题,很好理解,看题如下:

解析:类似于上面步骤,我们将切线条数问题转化为零点个数问题,则某个三次函数应该有且只有两个正零点,注意该题目与上述不同的地方是不仅要确保有两个根,而且还必须是正数根,因此遇到三次函数能分解因式的最好分解因式,步骤如下:

三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题
三次函数切线定义 导数中与三次函数切线的条数相关的问题

另外关于三次函数的零点问题解决方法很简单,在此不再赘述,另外需要注意在之前的专题中讲到过三次函数的对称中心问题,如果忘了可回顾一下:关于三次函数的对称性问题

最近很多同学反映,高三复习中复习到导数部分了,感觉好难,没错,如果不难导数也不会出压轴题了,但是我们需要注意,在高考中导数出题位置不仅仅出现在最后一个压轴题,在前面的小题中也会出现一个导数题,而小题中的导数问题一般用到数形结合思想,其实跟函数差不多,只不过是将函数中的单调性进一步扩展而已,因此在复习中没必要将导数中所有的专题全部掌握,在一轮复习中只需要掌握基础的导数分类讨论问题,零点问题,最值问题即可,导数大题第二问中的问题可以在二轮复习中慢慢攻克。

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