洛必达法则(L'Hôpital's rule)是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
插入一个八卦:
据说洛必达法则是富二代洛必达买来的。喜欢搞数学却苦无天分的贵族洛必达用三百个里弗尔(一里弗尔相当于一磅银子)成功地从伯努力手里买到了这个定理。因此17世纪最好的投资不是买股票买房子,而是买公式。。。
言归正传。
在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);二是分子分母在限定的区域内是否分别可导;如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决;如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量 是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。
定理1 设 (1)当 时候,函数f(x)及F(x)都趋于0 (2)在点a的某去心邻域内, 和 都存在,且 (3) 存在(或为无穷大) 那么 这种在一定条件下,通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法成为洛必达法则(L'Hôpital's rule) 定理2 而对于 时的未定式 有如下定理: 设: (1)当 时,函数f(x)和F(x)都趋于0; (2)当 N" alt="
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> N" eeimg="1"> 时, 和 都存在,且 (3) 存在(或为无穷大) 那么 例1 求极限 ( 0" alt="n > 0" eeimg="1"> ) 解: 这是未定式 。
因为: 当 时,上式右端是 ,应用洛必达法则: 例2 求极限 解: 这是未定式 。设 ,取对数得: 当 时,上式右端是 。 应用例1的结果,得: 因为 (当 时) 所以:
