哥德尔不完全定理 怎样理解哥德尔不完全定理?

2019-02-19 - 哥德尔

怎样理解哥德尔不完全定理? 哥德尔第一不完全定理 设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证。 哥德尔第二不完全定理 如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

哥德尔不完全定理

第一不完备性定理 任意一个包含算术系统在内的形式系统中,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。 第二不完备性定理 任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。 我不是学这专业的,希望大家给予一种通俗的解释,最好有例子~

哥德尔不完全定理

1个回答分类:数学2014-09-26

问题解答:

为了解释这个问题 我需要初略叙述一些模型论的基本知识 有些严格定义是比较麻烦的 我只是举例子说一下. 1 什么叫一个理论 一个理论包括2部分 一部分是符号集 一部分是一些能用符号写出来的命题 我们叫公理集 2 什么叫模型?比如说 对于ABEL群(有0,有加法,加法有交换律 结合律,任何元素X 有Y使 X Y=0)的理论 自然数 Z 就是是一个模型,有理数Q 也是一个模型.

哥德尔不完全定理

3 在一阶逻辑中 有完备性定理 就是说一个理论中 一个命题是可以被证明的 等价于在其所有模型中都成立.

打个比方 在ABEL群的理论中 一个命题:任何X 存在Y有 X=Y Y.是否能被证明呢?答案是不能 因为 在 Z这个模型中 1就不能写出2个相同整数的和.

哥德尔不完全定理

那它的反面:存在X 任何Y有 X不=Y Y.能不能被证明呢?答案还是不能 因为 在 Q这个模型中 任何X 有X=X/2 X/2. 4什么叫做一个理论是完备的呢?如果这里理论中 所以能被写出来的命题 或者能被证明 或者其反面能被证明 则其完备.

完备的理论有 比如说 代数封闭域的理论就是完备的.不完备的理论 比如有刚才举得例子 ABEL群的理论就是不完备的. 5哥德尔不完备性定理是 他的意思是所有可递归的 包含皮亚诺公理的理论 都是不完备的.

这里有2点解释 一个是什么叫可递归的?如果存在一个算法 能判断 任何一段话是不是一个证明 那么 这个理论就叫做课递归的. 如果去掉这个要求 不完备定理就是不成立的.

因为我们总可以找一个模型,然后 把这个模型的所有 真命题加到 公理中去 得到的理论就一定是完备的. 什么叫皮亚诺公理呢?这个建议你维基百科一下.皮亚诺公理是一族描述自然数的 公理,其中最非平凡的一条是所谓归纳公理,是数学归纳法的基础.

事实上我们先前也看到过不完备的理论,比如说ABEL群的理论.所以说现在看到哥德尔不完备性定理也就没什么好惊讶的了.不完备性只所以出现 很大程度是因为 模型的不唯一性.

其实任何理论的模型都是不唯一的.但是如果理论的模型在一些条件下能有一定的唯一性 那么就可以证明他是完备的.而哥德尔不完备性定理 就是说 我们所熟知的自然数这个 模型 是不能用一族简单的公理来完全描述的,如果一定要完全的描述它 得到的理论就不是递归的.

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