刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇

2018-10-15 - 刘徽

在中国,提到圆周率,首先闯入人们脑海的名字无疑是祖冲之,他已经被默认为是中国的“圆周率鼻祖”,就像说仁想到孔子,说木工活想到鲁班一样自然和根深蒂固。但从现存的史料来看,我国古代精确计算圆周率的数学家,应当首推魏晋时期的刘徽,他比祖冲之早入手这个问题两百多年。

刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇
刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇

提到刘徽,不得不提我国数学史上的一部经典——《九章算术》。后世的数学家,大都是从《九章算术》开始接触、学习、研究并热爱上数学,从此走上了一条跟图形与数字纠缠不清的“不归路”。正是因为《九章算术》无可撼动的经典地位,数学家们争相为其作注,其中最负盛名的当属刘徽所注,称为《九章算术注》。

刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇
刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇

后者虽然是前者的注解,但光芒却在一定程度上覆盖了前者。如同读钱钟书先生的《宋诗选注》,先生评注之精彩喧宾夺主。因为《九章算术注》的空前成功,让人们一时忘却了本应是先入为主的《九章算术》,就好像在婚礼现场,伴娘却比新娘漂亮,搜刮走了宾客们的目光及注意。

刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇
刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇

刘徽注《九章算术》(资料图来自网络)

现在,让我们回过头来看看《九章算术》,其首章“方田章”就讨论了各种几何图形的度量问题,并且提供了求圆面积的“圆田术”,文中道出了我们今天所通用的方法,即圆面积等于圆周长和半径两者乘积之半。但这里只给出了一个概括性质的方法,或者说,只给了一个目的地,但是如何通往这个目的的路却并没有铺设出来。

刘徽割圆术故事 庆祝“圆周率日”别忘了他们 ——刘徽篇

通俗来讲,就好像是出了一道难题,然后直接写出答案,却并没有给出详细的求证过程。对于一般人来说,知道答案就已经足够,没有兴趣,或者有兴趣也没有能力去勘破这其中奥秘。

可刘徽不是一般人,他通过刻苦认真的研究,最终为这篇“圆田术”进行了清晰的注解,后世称为《割圆术》。现代数学家们普遍认为祖冲之计算圆周率的方法就得益于《割圆术》。

《割圆术》全文不过1800余字,却是数学史上一篇不折不扣的千古奇文,这是人类历史上,首次向圆面积极限计算的一次冲锋,同时给出了一个完整的成熟的计算圆周率的高效算法。全篇文章分为三个部分对圆周率的计算进行了翔实的阐述。

刘徽的割圆术示意图(资料图来自网络)

在第一部分,无独有偶,刘徽跟找支点撬地球玩的阿基米德前辈一样想到了内接正边形的方法。刘徽首先从正六边形开始,然后依次乘2分割出内接正12边形、24边形、48边形……刘徽提出了猜想,在无限地扩大之后,终会有一个非常接近圆面积的正边形,求出它的极限值即可获得所求圆的面积,继而得出可接受误差范围之内的π值。

到了第二部分,就是把第一部分的猜想实验之。可以说,第一部分就是绘画了一副施工图,第二部分就是开槽、打地基、搬砖和泥把这个图纸上的二维建筑誊到现实世界。这本应该是一个繁琐耗时的工程,但是刘徽的算法避开了外切多边形,巧妙地节省了计算量,使得他在割到正96边形的时候,就取得了阿基米德曾获得的3.14的精确结果。

到了第三部分,则是在算法实现的基础上进行优化,最大限度地触摸到π的长度。后人证明,如果按照刘徽的计算方法,不断地分割下去,到内接正24576边形时就可以获得祖冲之当时的计算结果,即3.14159265。

可是这一切都是借助于现代高度发达的计算机来完成的。在古代只有算筹之类简单,甚至可以说是简陋的运算工具,可想而知,要想完成如此繁重的计算量简直比登天还难。但是刘徽却提供了一种让人拍案叫绝的精加工方法,他将割到192边形的几个浮动的近似值,通过简单的加权平均,获得了具有4位有效数字的圆周率:3.

1416。而如果要取得这个值,按照之前的算法则需要切割到3072边形。事实上,越往后面,每一次切割都需要比前一次更加复杂和困难的计算。

从192到3072,不仅仅是一个数字的差值,这无疑是一个质的飞跃。即使在一千多年之后的今天,刘徽所提出的优化算法设计的思想深度仍然是矗立在圆周率高精度计算这一领域中一座丰碑,为后人所瞻仰。

参考书目:

《千古绝技《割圆术》——刘徽的大智慧》 王能超 著

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