【蝴蝶效应3亲热视频】如何科学地解释混沌理论中「蝴蝶效应」这个概念?

2019-12-17 - 蝴蝶效应

谢邀。以下答案摘录自本人专栏,有兴趣请移步细读。

在1961年,Lorentz建立了一个大气模型用于计算天气预报。当他重复一次以前的运算时,他用打印出来的数字0.506作为初始值,而实际上次运算电脑中的初值是0.506127。结果他发现两次运行的结果完全不同,分别预测了未来完全不一样的天气变化。当他排除了算法和代码的错误之后,它发现,这是这个模型本身的性质:哪怕初始值有一点点不同,最后预测出来的轨迹也会变成完全不同。他说【1】,

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Lorenzo 1963年的论文【2】被认为是混沌理论的开山之作。但是事实上这个现象早在80年前就已经被讨论过:这就是大名鼎鼎的庞加莱和它的三体问题研究,只不过在当时它只是被认为是某种特殊情况,而没有被广泛注意。

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事实上,上面那篇大名鼎鼎的论文一开始也不被人注意,只是被认为是小的专业圈子里的特殊现象。后来,Lorenz在1972年第139届美国科学促进会年会上发表了一次演讲,一开始演讲的名字是“predictability”。然而他的同事Philip Merilees却把这次演讲做成了一次出色的传播学案例,他把演讲的名字改成了:

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Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?(可预测性:巴西某个蝴蝶闪动一下翅膀会引发德克萨斯的一场飓风吗?)

至此,人们所熟知的“蝴蝶效应”就正式登入了科学史册。

很多影响巨大,甚至足以开辟或颠覆一个领域的科学理论,作为一个科学议题,它的知名度却只是局限于一个非常小的科学家圈子里,这包括了很多对科学有重大意义的理论。这些理论都是极具颠覆性而且极富争议的,但是广大吃瓜群众对它们毫无所知也毫无兴趣。

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但是如果把它们以一种娱乐形式的类比表达出来,或者是冠以一种富有戏剧性的名号,它就很快吸引到大量的眼球,并迅速普及开来。比较典型的包括薛定谔猫、多世界理论、拉普拉斯之妖。

如果没有薛定谔猫的论述,人们绝不会对量子力学产生如此巨大的兴趣,没有平行宇宙的话题,多世界理论也不会获得大家的关注,同样,没有拉普拉斯之妖,人们就不会对决定论产生如此浓厚的兴趣。蝴蝶效应也是这样一个典型的例子。如果没有蝴蝶闪动翅膀引起飓风的论述,人们根本不会知道混沌原理。

但是我不得不说,给科学理论赋予戏剧化,这是一柄双刃剑,它的确能够迅速地把一个理论普及开来,同时,普及开来的理论因为被被赋予了太多的戏剧性,因而理论的普及往往伴随着误解的扩散,普及开来的理论已经与原本严肃的理论大相径庭了。

这里,我想说的是,蝴蝶效应说的并不是蝴蝶闪动一下翅膀导致了一场飓风,很多吃瓜群众的理解是不对的。

蝴蝶效应所表达的,并不是说蝴蝶的翅膀,在经过了种种戏剧性的路径后,最终不可避免地导致一场风暴。蝴蝶的翅膀其实与德克萨斯的风暴没有任何直接的因果关系。这个类比真正的含义是说,如果我们想精确地预测两周后的一场风暴,我们现在所需要获知的的信息,必须要细致到每一个微小的变化,哪怕是像一个蝴蝶的翅膀这么细致。

或者说,如果我们有两个完全相同的世界,其唯一区别在于一个世界里某只蝴蝶没有闪动翅膀,而另一个世界里蝴蝶闪动了一下翅膀,那么两周后,这两个世界里气象的差距将是宏观的,颠覆性的。

这里说,是系统演化对初始条件的极端敏感。

在最典型的动力学中,系统未来的演化路径是由它现在的状态(初始条件)决定的。那么,不同的初始状态,未来演化路径不同,我们一般会直觉地认为,初始状态越一致的,未来演化路径就会越接近。两个非常接近的初始状态,它们未来的演化路径会非常接近。

但是蝴蝶效应告诉我们,实际上并非总是如此。有时候,两个非常接近的初始状态,未来演化却在很短时间内变得分道扬镳,完全不同了。比如说我们仍然用桌球作为一个例子,比如说,一个长方形的球桌,一个小球以少许不同的角度开出,经过一段时间以后,它们的路径显示,基本上比较接近,这里,初始条件的小小差异,引起的路径差异也很小,这就是系统演化对初始条件不敏感。

但是,当我们换成一个两面弧形的,类似运动场形状的球桌,情况就会大相径庭。我们发现,桌球只在开始的一小段时间内路径大致相似,很快就完全不同了。这就是系统演化对初始条件敏感。

所谓系统演化对初始条件的极端敏感,意思是说,两个初始条件极为相似的系统,演化过程中也会在极短的时间内路径完全不同。这种初始条件的差异可能细小到我们完全无法分辨,但这样也毫无用处,只要存在一点差异,就会导致演化路径的完全不同。

系统初始条件的偏差,会随着时间被以指数速度迅速放大。这意味着,如果我们想要增加对系统有效预测的时间长度,那么每一秒钟的预测都需要我们增加一个数量级的精度。这个误差的放大系数被一个叫做Liapunov 指数的指标所表征的。这个指数越大,意味着误差放大的速度越快。

我们知道,指数速度是是极其恐怖的,因为它的扩大是数量级上的,而不是数值上的。它可以在短时间内把初始误差以数量级的倍数放大。例如,如果每一秒钟放大2倍的话,那么延续这种趋势,10秒钟就放大1000多倍,每一分钟就会放大10^18倍,这是一个天文数字,甚至天文数字都不足以描述它,这种放大速度,意味着只有一个原子那么小的初始误差,在区区1分钟内就被放大到1000个太阳那么大!

正是由于系统对初始条件的极端敏感,我们要想准确预测一个系统的未来,我们需要极端精确地知道这个系统的初始状态,否则我们的预测将在极短的时间内就会完全失败。这个精度要求达到了变态的程度。

为何会出现系统演化路径对初值极端敏感的情况呢?这是有数学上的原因的。简单来讲,就是我们的微分方程在绝大多数情况下(分岔点除外)都可以被局部地近似为一个线性方程。而线性微分方程的通解恰恰是指数形式的。

我这里提供一个更浅显的解释:

典型的动力学方程用一个微分方程表示:

这个方程告诉我们,一个系统某一时刻状态变化率,(在边界条件确定的情况下)是由此时它的状态唯一确定的。

这是一种非常典型的微分方程形式,以牛顿定律为基础的经典动力学,最终的微分方程形式就是这样的。事实上,绝大多数物理定律、化学定律的数学形式都是这样的。因为科学研究的就是事物的状态和事物状态的变化,因而,科学定律必然是与“状态”和“状态的变化”有关的,所以科学定律表达成这种形式就顺理成章了。

而这种形式的微分方程,描述的就是一个反馈系统。

怎么理解呢?我们说,这个方程告诉我们,在某一时刻系统状态的变化率是由系统状态本身决定的。而系统状态变化率又会决定下一时刻系统的状态,下一时刻的状态又决定了下一时刻的变化率,继而又决定了下下时刻的状态……,系统就以这种方式不断反馈给自身。

简单说,对一个稳定的动力学系统,它的所有状态不随时间变化,也就是变化率为零。如果在0时刻系统的状态发生一个扰动δ,使得它的状态偏离了平衡态,那么,这个偏离了平衡态的状态就导致了它的变化率偏离了零(也就是说它的状态会进一步发生变化)。

而不为零的变化率就会使得下一时刻系统状态进一步变化。如果这个反馈的变化的方向与最初的扰动δ一致的,那么它会使得系统在最初扰动的方向上走得更远,系统状态就会更加偏离最初的稳定态。而更加偏离的状态又会使得其下一刻的变化率更加有利于这个方向。这是一个正反馈,那么,系统的这个扰动就会以非常快速的速度扩大,在一瞬间崩溃。

反之,最初的扰动使得系统状态偏离平衡态,而偏离的平衡态导致状态变化率偏离了零,如果这个反馈的变化率与最初的扰动方向相反,那么,它就会把系统状态从偏离的方向拉回平衡态,动力学方程是个负反馈的,那么,系统的扰动就会以指数速度缩小,因而系统回到最初的状态。(当然,负反馈结合系统的惯性,还会产生震荡的情况)。

总之,如果系统状态的反馈总是抵抗它的扰动方向,那么这个系统是负反馈的,初始的扰动会以指数速度迅速缩小直至为零;如果系统状态的反馈总是强化它的扰动方向,那么这个系统是正反馈的,初始的扰动会以指数速度迅速扩大直至完全不知所踪;

例如,一根垂直竖立的针。我们对这根针做分析会发现,它的倾斜和力矩之间是正反馈的:一个小小的扰动导致它倾斜了一点点,其后果就是使得重力对它产生了力矩,这个力矩的作用是使它更加倾斜。因而,虽然它理论上能够在竖直的状态下保持平衡,但是我们永远看不到一根保持竖立的针(当然不包括插在那里的)。

因为一点扰动就会使得它迅速倒下。而相反的例子,一个盒子,这就是一个负反馈系统,盒子的倾斜导致的力矩是抵消它的倾斜的,所以我们到处可以看到平稳放置的盒子,但是永远不会看到一个盒子自己站立起来。

所以说,系统对初始条件的极端敏感,根源就在于,描述我们这个世界的方程是反馈的。

在一个动力学系统中,由于其状态变量的数目极其之多,所以,总有一部分变量是正反馈的,而一部分变量是负反馈的。正反馈的那一部分变量就会使得误差呈指数速度放大,而负反馈的那一部分变量就会使误差呈指数速度缩小。这就是为何混沌现象会在我们周围如此之普遍存在的原因。

总而言之,误差被系统以指数速度扩大的情况,就属于对偏差极端敏感。这种极端敏感的情形在在我们周围的几乎无处不在。这就使得我们不可能完成绝大多数的系统精确预测。

系统演化对初始条件极端敏感,这就是确定性混沌理论的最基本特征。

混沌在自然界中是如此的普遍,远远超出了人们平常所意识到的。我们所能用传统动力学“优雅”“简洁”地解决的问题,与混沌系统相比,直如凤毛麟角。可以说,混沌系统几乎统治了我们周围的一切现象。在一些很简单的问题中,例如三体问题、复摆、生态系统演化等低维度问题已经表现出强烈的混沌特性了,在高维度问题中,各个维度的Liapunov指数分布更广,混沌几乎是无法避免。

但是,请注意的是,初始条件极端敏感,这只是混沌的基本特征之一,而不是全部、甚至不是最重要的特征。更关键的,在于相空间的拓扑混合性和不稳定轨道的稠密性。如果有兴趣请继续阅读本人专栏:

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