利用切割线定理证明勾股定理

2015-03-18 - 那小子真帅

前面我们谈到过切割线定理,我们将什么切割线定理、相交弦定理统一成一个定理。今天我们从比较稀奇的角度出发,利用切割线定理来证明勾股定理。要说明的是,虽然在《圆幂定理》一文中,我们对这个定理的证明其实利用了勾股定理,因为那个圆的方程其实就是利用勾股定理。不过我们依然可以利用初等几何的方法来证明圆幂定理,而不涉及到勾股定理,也就不会有循环论证的错误。详情可以参考百度百科里的词条:切割线定理。切割线定理:
如图,PT是切线,切点为T,PA和PC都是割线,那么有:PT

利用切割线定理证明勾股定理
利用切割线定理证明勾股定理

=PBPA=PDPC。今天我们利用它来证明勾股定理:
已知直角三角形POB,PBO为直角。以O为圆心,OB为半径作圆,交PO及其延长线于C和A。显然根据切线定理,PB就是该圆的切线,并且切点为B,那么根据切割线定理有:
PB

=PCPA。现在进行一些变化,PC=PO-CO=PO-OB,PA=PO+OA=PO+OB,带入有:
PB

=(PO+OB)(PO-OB)=PO

,勾股定理得证。由于我们在证明的过程中,所用到的切割线定理、弦切角定理,其证明都可以不通过勾股定理而得到证明。所以我们的证明也就没有错误。找出不同事物之间的联系,从来都不缺乏其优点。

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