平方和公式积分 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式

2017-05-17 - 那小子真帅

用微积分推导匀速圆周运动向心力公式 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式 已知如图所示, 建立如 已知如图所示, 图所示平面直角坐标系, 其中物体做圆周运动的轨迹方程为 x2 y2=R2, 图所示平面直角坐标系, 即圆周半径为 R。

平方和公式积分 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
平方和公式积分 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式

t 为所经历的时间, t=0 时, 设 为所经历的时间, 当 物体位于坐标 R, ( 0)点,并且逆时针运动。设匀速圆周运动的速率为 v,设物体质量 并且逆时针运动。 为 m,受到的向心力为 F。

平方和公式积分 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
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当时间为 t 时,物体和圆心的连线与 x 轴 正方向的夹角为θ 正方向的夹角为θ,设周期为 T, 则θ = 2π t T 轴方向, 在 x 轴方向,物体所受的分力为 Fx = ? F cos 2π t T 所以, 所以,x 方向的加速度为 ax = ? F 2π t cos m T 为两边对 t 求积分得 vx = ∫ ? F 2π t cos dt m T F 2π t = ? ∫ cos dt m T 2π t 2π F T =? ? ∫ cos T d T t m 2π FT 2π t sin =? Cx 2π m T 得其中, 无关,由已知条件得, 得其中,Cx 与 t 无关,由已知条件得,当 t=0 时,vx=0 代入上式得 Cx=0 ∴当时间为t时,x轴方向的分速度为 vx = ? FT 2π t sin 2π m T 轴方向, 在 y 轴方向,物体所受到的分力为 Fy = F sin 2π t T 所以, 所以,物体在 y 轴方向的加速度为 ay = F 2π t sin m T 两边对 t 求积分得 vy = ∫ F 2π t sin dt m T F 2π t = ∫ sin dt m T F T 2π t 2π = ? ∫ sin T d T t m 2π FT 2π t =? cos C 2π m T 无关,由已知条件得, 其中 C 与 t 无关,由已知条件得,当 t=0 时,vy=v 代入上式得 FT v 2π m FT 2π t FT cos ∴ vy = ? v 2π m 2π m T C= 2 2 Q v 2 = vx v y ∴ v2 = 2π t 2π t FT F 2T 2 FT sin 2 (? cos v)2 2 2 4π m T 2π m T 2π m 经化简可得 FT 2π t FT ( v = cos v) 2π m T 2π m 2π t 由于 cos 为变量 T FT 所以只能 v =0 2π m 移项,两边求平方得 F 2T 2 2π R v = 2 2 ,由于T = v 4π m 2 2 4π R F2 v2 代入得v 2 = 2 2 4π m mv 2 化简可得F = R 即向心力表达式 2

平方和公式积分 用微积分推导匀速圆周运动向心力公式
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