如何对定积分求导 如何求定积分的原函数

2016-12-11 - 落跑甜心

利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数,即寻找满足F?(x)?f(x)的函数F(x).如何求出一个被积函数的原函数呢?我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,所以要求被积函数的原函数,首先要明确它们之间的关系:原函数的导数就是被积函数,并且导函数是唯一确定的,而被积函数的原函数是不唯一的.即若F?(x)?f(x),则被积函数f(x)的原函数为F(x)?c(c为常数).

如何对定积分求导 如何求定积分的原函数
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类型一 被积函数为基本初等函数的导数

求这种类型被积函数的原函数,关键是要记准上述基本初等函数的导数公式,找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知:若f(x)是被积函数,F(x)为原函数,则有:

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若f(x)?k,则F(x)?kx?c(k,c为常数);

若f(x)?xm,则F(x)?

若f(x)?1m?1x?c(m??1,m,c为常数); m?11,则F(x)?lnx?c(c为常数); x

若f(x)?ex,则F(x)?ex?c(c为常数);

?c(其中a?0,a?1,a,c为常数)若f(x)?a,则F(x)?; lnax

若f(x)?sinx,则F(x)??cosx?c(c为常数);

若f(x)?cosx,则F(x)?sinx?c(c为常数).

例1 计算以下积分:

分析:解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数,根据积分的性质,先求出一些简单被积函数的原函数,然后再进行相应的运算.显然,只由熟练掌握常见函数的导数公式,才会比较熟练

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11地找出相应的原函数.x2的一个原函数为x3,的一个原函数为lnx;sinx的一个原函数为3x

1?cosx,sin2x的一个原函数为?cos2x. 2

12解:(1)函数y?2x2?的一个原函数是y?x3?lnx, x3

221216214所以?(2x2?)dx?(x3?lnx)1?(?ln2)?(?ln1)??ln2. 1x3333

1(2)函数y?sinx?sin2x的一个原函数是y??cosx?cos2x, 2

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1所以?3(sinx?sin2x)dx?(?cosx?cos2x)02??3

评注:在求这种类型的定积分时,要熟记基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则,利用这些公式的逆运算便可求出原函数.在计算定积分时我们一般取c?0时对应的原函数,这样可减少运算量.

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类型二 被积函数为分段函数

根据定积分的定义以及微积分基本定理,定积分可以分解为多个区间上的定积分的和,所以求分段函数的原函数,必须根据被积函数的定义在不同区间上进行求解,然后根据定积分的运算法则进行计算.

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例2 求下列定积分:

(1)?

3?2x

dx;(2)?12?0??4x?2?,x?[0,]??2. f(x)dx,其中f(x)????cosx,x?(,?]??2

分析:这两个小题实质上都是求分段函数的积分,可以利用定积分的性质,根据函数的定义域将积分区间分成几段,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可.

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评注:分段函数在不同的取值范围内对应不同对应法则的一个函数,不是多个函数,所以求解这类函数的原函数时,要根据分段函数的定义,把被积函数分解到不同的区间内,分别求出原函数,然后利用定积分的运算性质,把不同区间内的定积分求和即可.

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类型三 被积函数为积或商的形式

这种形式中的被积函数,很难直接求出原函数,需要对被积函数进行化简,转化为一些基本初

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等函数的导数的和或差,然后利用定积分的运算性质进行求解.

例3 求?2

分析:该积分中的被积函数式比较复杂,无法直接求出原函数,所以应先化简,转化为一些被积函数的和或差,然后求定积分. (x?1)(x2?3)x3?x2?3x?31111??x???, 解析:∵3x23x233xx2

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所以?2

评注:这种类型的定积分,仅限于被积函数由基本初等函数的导数进行简单的加、减运算得到,可通过化简转化为几个被积函数的和或差的形式,根据定积分的运算性质,原函数就等于化简后的几个被积函数的原函数的和或差.对于较为复杂的被积函数的原函数的求解,要等到我们进入大学深造进一步研究.

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