第7 章 位移法计算超静定结构

2016-02-03 - 应用心理学

某些结构不宜用力法计算,需用位移法计算。

1915年,美国西北 理工大学教授孟内 提出了位移法

7.1 概述

二、位移法的研究对象 各构件是直杆的受弯结构(梁和刚架) 三、位移法的计算基础 单跨超静定梁的力法计算结果。 四、基本假设 1. 不考虑剪力、轴力对结构变形的影响;

2. 变形过程中杆件两端之间的距离保持不变; 3. 仅研究等截面直杆的简单情况。

第7 章  位移法计算超静定结构
第7 章 位移法计算超静定结构
7.

1 概述

五、位移法基本原理

把结构中的某些结点位移作为基本未知量, 根据平衡条件首先求出它们,然后再据以确定 结构的内力和变形的方法。

第7 章  位移法计算超静定结构
第7 章 位移法计算超静定结构
7.

2 等截面直杆的转角位移方程 ——单跨超静定梁的力法计算结果

转角位移方程: 单跨等截面超静定梁在外荷载作用

下以及杆端发生转动和移动时的杆端内力(弯矩、

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剪力)的表达式。

一、单跨超静定梁的形式:

二、杆端内力、杆端位移:

(一)杆端内力 1.表示方法:仍采用双脚标。 2.正负号规定: 轴力N,剪力Q: 同前; 弯矩M:杆端弯矩:顺时针为正; 支座或结点的弯矩:逆时针为正。

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支座 支座

二、杆端内力、杆端位移:

(二)杆端位移:

假设: 在变形过程中,直杆两端之间距离保持不变。 杆端转角: 以顺时针方向转动为正

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杆端线位移: 以使杆件作顺时针方向转动为正

βAB称为弦转角。

三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力:

(一)命名 位移法中将单跨超静定梁仅由荷载作用产生的 的杆端内力叫固端内力(固端弯矩和固端剪力)。 用Mg表示。 (二)几种常见情况

——又称为载常数

三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力:

(二)几种常见情况

——又称为载常数

1 Pl 1 ? l ? ? ?1 1. 左边的固端弯矩为负,右边的固端弯矩非负。 g 4 2 M AB ??2 1 2 2. 集中力作用下的系数>均布荷载作用下的系数。 ? l ?1? ?1 2 3 3. 一端固定一端铰支情况下的系数>两端固定情况下的

系数。 4. 固定端可以在左,也可以在右。 5. 同一杆端系数是3/2倍的关系。

三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力:

——又称为载常数

(二)几种常见情况

四、杆端位移所引起单跨超静定梁的杆端内力:

——又称为形常数

四、杆端位移所引起单跨超静定梁的杆端内力:

——又称为形常数

—形常数 四、杆端位移所引起的杆端内力(续):

说明: 1.位移: q、Δ 均设为正; 2.q、Δ 所引起的杆端M与

i? EI (线刚度)成正比。 l

3.当单跨梁同时受到多种作用时,利用叠加法求。

五、转角位移方程(刚度方程)

叠加法:

熟记载常数 和形常数了吗 ? 其中:

五、转角位移方程(刚度方程)

熟记载常数 和形常数了吗 ?

转角位移方程:

βAB称为弦转角。

五、转角位移方程(刚度方程)

熟记载常数 和形常数了吗 ?

7.3 位移法解题的基本思路及基本概念

一、基本思路: 例:用位移法求解图示结构,并作M、Q图:

竖向和水平不能移动;

能转动 AB、BC在B端产生相同转角Z1 限制转动的约束称为刚臂, 用符号 表示。 原结构变为2个相对独立的 单跨超静定梁

一、基本思路:

在(C图)上加上荷载,并使它 发生实际位移Z1 (即恢复原状) 变形一致 为了区别弯矩转向和力的方 向,在Z1方向上带两道竖杠, 以表示它是转角位移。

一、基本思路

(一)加上限制转动的约束(附加刚臂 ); (图b) (二)加上荷载,并使基本结构发生实际位移(恢复 原状)。即图e。 (三)如何求Z1:

平衡条件

一、基本思路

(三)如何求Z1:

平衡条件

列等截面直杆转角位移方程:

一、基本思路

位移法通过引入附加约束,把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体,从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。

一、基本思路

等截面直杆转角位移方程:

(四)将Z1回代到转角位移方程,得出杆端弯矩:

一、基本思路

(五)作内力图:

1.利用区段叠加法作M图。

2.利用力矩平衡方程作Q图。

二、位移法基本概念:

(一)基本结构: 在原结构上增加一些附加约束(刚臂、支座

链杆),以使原结构变成若干单跨超静定梁的组 合体。该组合体称为位移法基本结构。

它是位移法的研究对象。

(二)基本未知量: 附加约束处,在附加约束方向上原结构的实际 位移。包括刚结点转角、独立结点线位移。

(三)基本方程: 表示附加约束上无约束反力的方程。 RB ? 0 显然: Z1

1.对于附加刚臂:

基本方程为力矩平衡方程。

2.对于附加链杆:

基本方程为链杆方向上力的平衡方程。 等截面直杆转角位移方程的重要性: 1.它是把基本未知量与杆端内力联系起来,是建立位 移法基本方程、求解基本未知量的基础。

2.求出基本未知量后,它又是求解杆端内力的依据。

三、位移法解题的一般步骤

(一) 确定基本结构 (二)求基本未知量

1.列位移法方程(1) RB ? M BA ? M BC ? 0 2.写出各杆端弯矩表达式(转角位移方程)(2) 3.(2)代入(1)解方程,得实际位移(3)

(三)内力计算 1.求各杆端弯矩:(3)代入(2) 2.求Q

3.求N(有的结构N求不出)

7.4 位移法基本未知量的确定 一、位移法基本未知量类型

结点角位移 n1 独立结点线位移 n2

用 用

表示 表示

二、位移法基本未知量数目:

(一)n1:表示刚结点数目: 注意: 1.包含组合结点; 2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。 例、

二、位移法基本未知量数目:

(一)n1:表示刚结点数目:

注意: 1.包含组合结点; 2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。 例、

二、位移法基本未知量数目 (二)n2:独立的结点线位移数目:

认为变形前后杆件两端距离保持不变

n2:由不动点原理来确定; 不动点:无线位移的点。

不动点原理:由两个不动点引出的两根不共线直 杆的交点是一个新的不动点。 方法一:使所有结点成为不动点所需增加的最少支 座链杆数目就是n2。

(二)n2:独立的结点线位移数目: 方法二: 将所有刚结点、固端改为铰结点,然后将铰

结体系变为几何不变体系所需要增加的最少链杆数目。

二、位移法基本未知量确定示例:

7.5 应用平衡条件建立位移法方程的步骤和示例 一、应用平衡条件建立位移法方程的步骤

(一)确定基本未知量数目,并确定基本结构;

(二)使基本结构承受原来的荷载,并令各附加约束 发生与原结构相同的位移(复原); (三)利用平衡条件建立基本方程; (四)写出转角位移方程,并求杆断剪力。 (五)解方程,求基本未知量;

(六)回代,并作弯矩图。

二、连续梁和无侧移刚架的计算示例(基本未知量 只有结点角位移) 解:1、确定基本结构 2、列位移法方程 RB=MBA MBC=0

3、写出各杆端弯矩表达式 令EI/4=i,则iAB=i,iBC=2i

4、回代解方程 ,求基本未知量Z1 10iZ1-20=0 解得,Z1=2/i

二、连续梁和无侧移刚架的计算示例(基本未知量 只有结点角位移) 解: 3、写出各杆端弯矩表达式 Z1 MAB=2iZ1 =4kN .m MBA=4iZ1 =8kN .m MBC=6iZ1 - 20 =-8kN .m 4、回代解方程,求Z1 Z1=2/i 5、内力计算 (1) 回代求M

(2)利用平衡条件求Q

二、连续梁和无侧移刚架的计算示例(基本未知量 只有结点角位移) 例、用位移法求解图示结构:

解: 1.确定基本结构: 2.列基本方程 由? M B ? 0 ,

即R1? 0 , 得: M BA ? M BC ? 0

3.写出各杆端弯矩表达式:

熟记载常数 和形常数了吗 ?

4.回代,求 基本未知量Z1:

5.回代,并求各杆杆端弯矩:

6.求作M图:

例、用位移法计算图示排架,并作M图。 解: 1.确定基本结构:

2.加上荷载,并使基本结构发生 实际位移Z1(复原): 3.利用平衡条件列基本方程:

, 即 R 1 ? 0, 得:

4.求杆端剪力

写出转角位移方程:

写出转角位移方程:

qH 3 Z1 ? 将(2)、(3)代入(1)得: 16i

6.回代到转角位移方程,作M图:

三、有侧移刚架的计算(基本未知量有结点线位移的情况) (一) 计算特点

1.与结点角位移对应的基本方程是附加刚臂方向上的平衡方程。 与结点线位移对应的基本方程是附加链杆方向上的平衡方程。

2.在写出各杆端弯矩表达式时,写出方程中出现的杆 端剪力表达式。

例、用位移法计算图示刚架,并作M图。 10kN/m 解: 1.确定基本结构: B 2.加上荷载,并使基本结构 发生实际位移(复原): 3.列位移法基本方程

由? M B ? 0 由? X ? 0

4.写出转角位移方程,并求出杆端剪力

(1)转角位移方程

熟记载常数和 形常数了吗?

4.写出转角位移方程,并求出杆端剪力

(2)求出杆端剪力:

AB段: 由 ? MA ? 0

同理,取出隔离体CD:

5.回代,求Z1、Z2:

联解①、②,

5.回代,并作M图:

上述的解题方法,很多书上叫做角变位移法。

解:1、确定基本结构 2、求基本未知量 1)列位移法方程 MBA MBC=0 QBA QCD=0 2)写出各杆端M,并写出QBA、QCD MAB=2iZ1-1.5iZ2-20 =-53kN .m MBA=4iZ1-1.5iZ2 20 =-7.8kN .m MBC=3iZ1 =7.8kN .m MDC=-0.75iZ2 =-19.1kN .m QBA=-20-(6iZ1-3iZ2)/4 QCD=0.75iZ2/4 3)解方程 Z 1=2.61/i 7iZ -1.5iZ 20=0 Z 2=25.5/i -1.5iZ 1 0.9375iZ2-20=0 3、内力计算 M 回代

角变位移法:

优点:物理概念清楚,便于记忆。 缺点:书写内容较多,给出的方程不及力法

典型方程“整齐”。

7.6 位移法的典型方程

一、思考方法:

解: 1.确定基本结构: 2.加上荷载,并使基本结构发生实际位移(复原):

一、思考方法:

根据叠加原理,将图b进行分解:

b图中, R 1 ? 0 ,

同理,b图中, R2 ? 0 ,

式中: R1P —表示在位移法基本结构中,单独在荷载作用下,在第一个附

加约束上产生的反力矩。

式中:

R11—表示在位移法基本结构中, 单独由第一个附加约束顺时针转 过一角度Z1时,在该附加约束上 产生的反力矩。

由叠加原理:

r11—表示在位移法基本结构中,单独由第 一个附加约束顺时针转过一单位角度`Z1=1 时,在该附加约束上产生的反力矩。 R12—表示在位移法基本结构中,单独由第 二个附加约束移动一正的水平位移Z2时, 在第一个附加约束上产生的反力矩,它等 于R12=r12 Z2。

r12—表示在位移法基本结构中,单独由第 二个附加约束移动一正的单位水平位移 `Z2=1时,在第一个附加约束上产生的反 力矩。 以此类推。

R2P —表示在位移法基本结构中,单独在 荷载作用下,在第二个附加约束上产生的 反力。 R21—表示在位移法基本结构中,单独由 第一个附加约束顺时针转过一角度Z1时, 在第二个附加约束上产生的反力,它等于 R21=r21 Z1。 r21—表示在位移法基本结构中,单独由第 一个附加约束顺时针转过一单位角度`Z1=1 时,在第二个附加约束上产生的反力。

R22—表示在位移法基本结构中,单独由 第二个附加约束移动一正的水平位移Z2 时,在该附加约束上产生的反力,它等 于R22=r22 Z2。 r22—表示在位移法基本结构中,单独由 第二个附加约束移动一正的单位水平位 移`Z2=1时,在该附加约束上产生的反力。

代入方程整理,得:

这就是位移法典型方程。

注意各系数和自由项 的物理意义。

二、计算位移法典型方程的系数和自由项: (一)分别作出基本结构在荷载单独 作用下以及各附加约束产生单位位 移时的M图:

(二)按照平衡条件计算系数和自由项:

由`M1图:

(二)按照平衡条件计算系数和自由项:

由`M2图:

(二)按照平衡条件计算系数和自由项:

由MP图:

将系数和自由项代入典型方程:

三、解方程求Z1、Z2:

四、按叠加公式M =`M1 Z1 `M2 Z2 MP 求出控制截 面弯矩值,并作弯矩图:

四、按叠加公式M=`M1 Z1 `M2 Z2 MP 求出控制截 面弯矩值,并作弯矩图: 比如:

最后,M 图如下:

这就是用位移法典型方程求解的全过程。

7.7 位移法求解超静定结构示例

一、位移法典型方程解题的一般步骤 1. 确定基本结构

2. 求基本未知量

(1)列位移法方程 (2)求系数和自由项rij、RiP (3)解方程 3. 内力计算 (1)M M ? M P ? ? M i Z i

同前

二、位移法典型方程解题的示例 例1、用位移法求解图示结构:

解: 方法一、用角变位移法:

1.确定基本结构:

2.加上荷载,并使基本结构发生实际位移(复原):

3.写出各杆端弯矩表达式: 令 i = iAB =

4.由结点平衡条件求Z1:

即R1? 0 , 得: M BA ? M BC ? 0

5.回代,并作M图:

方法二、用位移法典型方程: 1.确定基本结构:

2.加上荷载,并使基本结构发生 实际位移(复原):

3.列位移法典型方程:

4.按照平衡条件求系数和自由项:

(1)作`M1图、MP图:

4.按照平衡条件求系 数和自由项:

(1)作`M1图、MP图:

(2)求刚臂上的约束反力矩: 由`M1图:

由`MP图:

6.按叠加公式 M =`M1 Z1 MP 求出控制截面弯矩, 并作弯矩图。 1

例2:利用位移法典型方程作图示结构M图。 解:1、确定基本结构 2、求基本未知量 (1)列位移法方程 ql

EI=常数

(2)求系数和自由项rij、RiP

(3)解方程

3. 内力计算 M ? M1Z1 ? M 2 Z2 ? M P

3i 3ql 3 9ql 2 M AB ? ? ? (左) l 23i 23 2 7ql ql 2 65ql 2 M CB ? 3i ? ? ? (上) 92i 8 184

例3、用位移法求解图示结构:

解: 方法一、用位移法典型方程: 1.确定基本结构:

2.加上荷载,并使基本结构发生实际位移(复原):

3.列位移法典型方程:

4.按照平衡条件求系数和自由项:

(1)分别作出`M1图、MP图: (2)求刚臂上的约束反力矩:

由`M1图:

由`MP图:

6.按叠加公式 M =`M1 Z1 MP 求 出控制截面弯矩,并作弯矩图。

方法二、用角变位移法:

1.确定基本结构:

2.加上荷载,并使基本结构发生实际位移(复原):

3.写出各杆端弯矩表达式: 令i =

4.由结点平衡条件求Z1:

即R1? 0 , 得:

5.回代,并作M图:

位移法与力法作一比较:

1.利用力法和位移法计算超静定结构时,都必须 同时考虑静力平衡条件和变形协调条件,才能确定结 构的受力和变形状态。 2.力法以多余力作为基本未知量,其数目等于超 静定次数;位移法以结构独立的结点位移作为基本未 知量,其数目与超静定次数无关。

位移法与力法作一比较:

3.力法的基本结构是从原结构中去掉多余约束后 所得到的静定结构;位移法的基本结构则是在原结构 中加入附加约束以控制结点的独立位移 后得到的单跨 超静定梁的组合体。 4.力法中,基本方程体现了原结构变形协调条件; 位移法中,基本方程体现了原结构静力平衡条件。

六、单跨超静定梁杆端剪力表达式

0 QP ——把研究杆件视为简支梁时在其跨间荷载作用下的

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