矩阵位移法的计算步骤及示例

2016-02-03 - 落跑甜心

矩阵位移法的计算步骤:(以后处理为例) (1)对结点和单元进行编号,建立结构(整 体)坐标系和单元(局部)坐标系,并对结 点位移进行编号。 (e ) (2)计算各杆的单元刚度矩 k 、k (e ) 。 (3)形成结构原始刚度矩阵K。 (e) (4)计算固端力 F F 、等效结点荷载FE及综合 结点荷载F。

矩阵位移法的计算步骤及示例(5)引入支承条件,修改结构原始刚度方程 (针对于后处理法)。

(6)解算结构刚度方程,求出结点位移 Δ 。 (e ) (7)计算各单元杆端力 F 。

计算程序的主框图及算例

矩阵位移法的计算步骤及示例单元 分析 整体分析

离散化

刚 度 矩 阵 集 成

荷 载 矩 阵 集 成

约 束 处 理 程 序 解 方 程 求 位 移

单元 分析 Fe

开 始

数 据 文 件 准 备

单 元 刚 度 矩 阵

矩阵位移法的计算步骤及示例求 各 单 元 杆 端 力

计 算 结 果 输 出

结 束

离散化

数 据 文 件 准 备 明 变 量 和 数 组 说 建 立 输 入 文 件 元 、 坐 标 信 息 生 成 结 点 、 单

单元分析

矩阵位移法的计算步骤及示例生 成 子 程 序

子 程 序

调 用 单 元 刚 度

调 用 座 标 转 换

子 程 序

调 用 矩 阵 相 乘

整体分析

生 成 子 程 序 调 用 单 元 刚 度

子 程 序 元 、 坐 标 信 息

矩阵位移法的计算步骤及示例刚 度 矩 阵 集 成

调 用 结 点 、 单

整体分析

荷 载 矩 阵 集 成

成 子 程 序

子 程 序

调 用 固 端 力 生

调 用 座 标 转 换

子 程 序

调 用 矩 阵 相 乘

单元分析

输 出

杆 端 力 计 算 和

子 程 序

调 用 矩 阵 乘 法

生 成 子 程 序

调 用 单 元 刚 度

子 程 序

调 用 座 标 转 换

成 子 程 序

调 用 固 端 力 生

矩阵位移法示例1

试用矩阵位移法计算图示的三跨连续梁,绘 出M 图。设EI = 常数。

(1)对结点和单元进行编号

对于连续梁来说,各单元的整体坐标系和局 部坐标系重合,因而没有坐标变换问题。本 题采用右手坐标系。

(2)形成各单元的单元刚度矩阵

(3)集成结构刚度矩阵K

由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量,集成结构刚度矩阵K,此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。 1 2 3 4

将各杆所需有关数据计算如下:

将上述数据代入K 中,得

由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵, 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的,故无需再进行支座约束条件处理。

(4)计算固端力列阵及等效结点 荷载列阵。

②单元的固端力列阵 等效结点荷载列阵:

(5)解方程求未知结点位移

(6)计算各单元杆端弯矩

各单元的杆端弯矩为:

连续梁的最后弯矩图

矩阵位移法示例2

试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。单元 ①、② 的截面面积为A,单元③的截面面积 为2A,各杆E 相同。

(1)对结点和单元进行编号

解:(1)对结点和单元进行编号并选定整体 坐标系和局部坐标系。各杆杆轴上的箭头方 向为方向,此题采用前处理法,对结点位移 分量编号时位移为零的一律编为零码。

(2)形成局部坐标系中的单刚

桁架各杆单元的单元刚度矩阵为4×4阶的, 即:

(3)计算结构坐标系中的单刚

单元(1):θ (1) = 30

计算结构坐标系中的单刚

单元(2): θ (2) = 45

计算结构坐标系中的单刚

单元(3): θ

(4) 集成结构刚度矩阵K

由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量,集成结构刚度矩阵K,此时结构刚度 矩阵K 为2阶方阵。

(5)解算结构刚度方程

解算结构刚度方程,求出结点位移

(6)计算各杆轴力

(拉力)

(拉力)

(压力)

矩阵位移法示例3

试求图示刚架的内力。各杆材料及截面均相 同,E=200GPa,I = 32×10-5m4, A=1×10-2m2。

(1)对结点和单元进行编号

此题采用后处理法,结点位移分量编号、结 构坐标系、各单元的局部坐标系如图所示。

(2)形成局部坐标系中的单刚

先将所需有关数据计算如下:

单元①②和③:

(3) 计算结构坐标系中的单刚

θ (2) = θ (3) = 90 单元②和③

坐标转换矩阵为:

计算结构坐标系中的单刚

对于单元①

(4)集成结构原始刚度矩阵K

结构原始刚度矩阵K 为12×12阶方阵,它的每 个子快都是3×3阶方阵。根据各单元的始、 末两端 i、 j 的结点号码,将各单元刚度矩阵 以四个子块形式表示,它们分别为:

原始刚度矩阵K

将以上各单刚子块对号入座即得原始刚度矩 阵 K:

原始刚度矩阵K

(5)计算各单元固端力、等效结 点荷载及综合结点荷载

各单元在局部坐标系中的固端力为:

单元等效结点荷载列阵

将固端力变号并进行坐标转换,得到单元等 效结点荷载列阵

对于单元①

单元等效结点荷载列阵

单元②

综合结点荷载列阵F

将各单元等效结点荷载列阵按其右侧的单元 定位向量“对号入座”,集成、累加得到结构 等效结点荷载列阵FE。此时结点上尚有结点 荷载Px2作用,则将其一起组合为综合结点荷 载列阵F,即

(6)引入支承条件,修改原始刚 度方程

结构的原始刚度方程为 F = KΔ 结点1和4为固定端,故已知

在原始刚度矩阵中删去与上述零位移对应的 行和列,同时在结点位移列向量和结点外力 列向量中删去相应的行,便得到修改后的结 构的刚度方程为

(7)解方程,求得未知结点位移

(8)计算各单元杆端力

单元①: θ (1) = 0

单元②:

单元③:

刚架的弯矩图

矩阵位移法习题讨论

一.离散化

1.不计轴变时先处理法的结点位移编码

2. 计轴变时先处理法的 结点位移编码

二. 单元分析

1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程? 2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵? 3.单刚元素

的物理意义是什么?

4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵? 5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?

? cosα sinα ?? sinα cosα 6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗? ? ? 0 0 e [T ] = ? 7.试写出自由式单元坐标转换矩阵. 0 ? 0 ? 0 0 ? 0 ? 0 ?

二. 单元分析

8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素

右手系

左手系

三. 整体分析

1.结构刚度方程 [K ]{Δ} = {P} 是整体结构所应满足的变形 协调条件吗? 2.总刚元素 K 23 的物理意义是什么? 3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.

4.图示结构2单元的整体单刚元素 k 23 应放在总刚的什么位置?

三. 整体分析

第5行第6列

4.图示结构2单元的整体单刚元素 k 23 应放在总刚的什么位置?

三. 整体分析

5.试求总刚元素 K 65 EA=常数 l

6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)

三. 整体分析

例 求图示桁架结构刚度矩阵

结构刚度矩阵有1个元素 其数值等于:

图 示 结 构 ,图 中 圆 括 号 内 数 码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按 竖 直 ,转 动 方 向 顺 序 排 列 ) 。求 结 构 刚 度 矩 阵 [K] 中 元 素 K11 , K12

三. 整体分析

7.先处理法求图示结构总刚

(不计轴变)

三. 整体分析

三. 整体分析

8.等效结点荷载的数值等于汇交于该结点的所有单元固端力 之和. 此结论对否? 9.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).

三. 整体分析

10.试求图示结构的荷载列阵(先处理法). q P l

11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).

三. 整体分析

11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).

三. 整体分析

12.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).

四. 求杆端力

1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算. 是否正确?

2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为

求:1单元的杆端力

3.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为

求:1单元的杆端力 1

忽略轴向变形的竖直杆单元,求在图示整 体坐标中的单元刚度矩阵的第1列元素。

思考:

平面杆件结构用后处理法建立的原始 刚度方程组, A.可 求 得 全 部 结 点 位 移 ; B.可 求 得 可 动 结 点 的 位 移 ; C.可 求 得 支 座 结 点 位 移 ; D.无 法 求 得 结 点 位 移 。 ( D)

思考:

图示结构整体坐标系以子块形式表 示的单元刚度矩阵为:

,则结构刚度矩阵为:

思考:

结 构 原 始 刚 度 矩 阵 中 ,元 素 K 54 的 物 理 意 义 就是

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